Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежит куча из 6 камней. Игроки берут камни по очереди. За один ход можно взять 1, 2 или 3 камня. Проигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто выиграет при безошибочной игре обоих игроков — игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

Чтобы понять, кто выиграет в данной игре при безошибочной игре обоих игроков, проведем анализ игры, начиная с последнего хода.

Условия игры

1. В куче 6 камней.
2. За ход можно взять 1, 2 или 3 камня.
3. Проигрывает тот, кто забирает последний камень.

Цель игрока — заставить соперника оказаться в ситуации, когда тот вынужден забрать последний камень.

Шаг 1. Анализируем проигрышные позиции

Проигрышной считается позиция, когда любой ход приводит к поражению. Если игроку остается взять последний камень, он проигрывает.

• Куча: 1 камень. Игрок, которому нужно брать последний камень, проигрывает.

Вывод: Позиция с 1 камнем — проигрышная.

Шаг 2. Анализируем выигрышные позиции

Выигрышной считается позиция, из которой можно заставить соперника оказаться в проигрышной.

• Куча: 2 камня. Игрок может взять 1 камень, оставив сопернику 1 камень. Соперник проиграет.
• Куча: 3 камня. Игрок может взять 2 камня, оставив сопернику 1 камень. Соперник проиграет.
• Куча: 4 камня. Игрок может взять 3 камня, оставив сопернику 1 камень. Соперник проиграет.

Вывод: Позиции с 2, 3 и 4 камнями — выигрышные.

Шаг 3. Возвращаемся к исходной позиции

• Куча: 6 камней. Игрок, делающий ход, может:
  • Взять 1 камень. У соперника останется 5 камней.
  • Взять 2 камня. У соперника останется 4 камня (выигрышная позиция для ходящего игрока).
  • Взять 3 камня. У соперника останется 3 камня (выигрышная позиция для ходящего игрока).

Если первый игрок возьмет 2 камня, он оставит соперника в позиции с 4 камнями, из которой тот не сможет выиграть при безошибочной игре.

Шаг 4. Стратегия игры

1. Игрок, делающий первый ход, может гарантировать победу.
2. Для этого первый игрок должен взять 2 камня на первом ходу.
3. После этого, независимо от количества камней, которые возьмет второй игрок, первый игрок сможет всегда оставлять сопернику проигрышные позиции (1, 5, 9 и т. д.).

Ответ

Выиграет игрок, делающий первый ход, при условии, что он играет безошибочно. На первом ходу ему нужно взять 2 камня.