Помогите пожалуйста решить задачу! Исполнитель Вычислитель получает на вход целое число х и может выполнять с ним преобразования по алгоритму, состоящему из любого количества команд: 1) прибавить 5; 2) вычесть 2. Сколько разных алгоритмов, состоящих из пяти команд, можно составить для этого исполнителя? Сколько из них будут приводить к одинаковым результатам для заданного числа х?

Решение задачи:

Исполнитель "Вычислитель" выполняет две команды: "прибавить 5" и "вычесть 2". Необходимо найти:

1. Сколько разных алгоритмов из пяти команд можно составить.
2. Сколько из них приводят к одинаковым результатам для заданного числа $x$.

Часть 1: Общее количество алгоритмов из пяти команд

Каждая команда может быть одной из двух: "прибавить 5" ($+5$) или "вычесть 2" ($-2$). Поскольку алгоритм состоит из 5 команд, общее количество возможных комбинаций равно:

Таким образом, всего можно составить 32 разных алгоритма.

Часть 2: Результаты алгоритмов

Теперь важно понять, какие результаты дают эти алгоритмы. В каждом алгоритме мы выполняем 5 операций над числом $x$, где каждая операция увеличивает $x$ на 5 или уменьшает на 2.

Подход:

Каждый алгоритм можно описать количеством команд $+5$ и $-2$. Пусть $k$ — это число операций $+5$ в алгоритме (от 0 до 5). Тогда число операций $-2$ будет $5 - k$. Итоговый результат для заданного числа $x$ вычисляется по формуле:

Где:

• $R$ — результат выполнения алгоритма,
• $k$ — количество операций $+5$,
• $5 - k$ — количество операций $-2$.

Возможные результаты:

Теперь проанализируем, какие значения $k$ возможны (от 0 до 5), и какие результаты получаются для каждого $k$:

• $k = 0$: $R = x - 10$
• $k = 1$: $R = x - 3$
• $k = 2$: $R = x + 4$
• $k = 3$: $R = x + 11$
• $k = 4$: $R = x + 18$
• $k = 5$: $R = x + 25$

Таким образом, для любого числа $x$ существует 6 различных результатов: $x - 10$, $x - 3$, $x + 4$, $x + 11$, $x + 18$, $x + 25$.

Часть 3: Сколько алгоритмов дают одинаковый результат

Чтобы понять, сколько алгоритмов дают один и тот же результат, посмотрим на сочетания $k$ и $5 - k$:

• Для каждого фиксированного $k$, количество алгоритмов равно числу перестановок операций $+5$ и $-2$ в наборе из 5 команд. Это задаётся формулой:

Где $C(5, k)$ — число сочетаний.

Расчёт для каждого результата:

• Для $k = 0$ ($R = x - 10$): $C(5, 0) = 1$
• Для $k = 1$ ($R = x - 3$): $C(5, 1) = 5$
• Для $k = 2$ ($R = x + 4$): $C(5, 2) = 10$
• Для $k = 3$ ($R = x + 11$): $C(5, 3) = 10$
• Для $k = 4$ ($R = x + 18$): $C(5, 4) = 5$
• Для $k = 5$ ($R = x + 25$): $C(5, 5) = 1$

Итог:

1. Общее количество алгоритмов: 32.
2. Количество алгоритмов, приводящих к одному результату:
   • $x - 10$: 1 алгоритм,
   • $x - 3$: 5 алгоритмов,
   • $x + 4$: 10 алгоритмов,
   • $x + 11$: 10 алгоритмов,
   • $x + 18$: 5 алгоритмов,
   • $x + 25$: 1 алгоритм.