Укажите, сколько всего раз встречается цифра 3 в записи чисел 13, 14, 15, …, 23 в системе счисления с основанием 4.

Для решения этой задачи разберем ее пошагово.

Шаг 1. Определим диапазон чисел в системе счисления с основанием 4

Даны числа $13, 14, 15, \ldots, 23$ в десятичной системе. Прежде чем перейти к подсчету в системе с основанием 4, необходимо преобразовать эти числа в эту систему счисления.

В системе счисления с основанием 4 числа записываются с использованием только цифр $0, 1, 2, 3$. Для преобразования делим числа поочередно на основание 4, записывая остатки (с конца к началу).

Число 13:

Запись: $31_4$.

Число 14:

Запись: $32_4$.

Число 15:

Запись: $33_4$.

Число 16:

Запись: $100_4$.

Число 17:

Запись: $101_4$.

Число 18:

Запись: $102_4$.

Число 19:

Запись: $103_4$.

Число 20:

Запись: $110_4$.

Число 21:

Запись: $111_4$.

Число 22:

Запись: $112_4$.

Число 23:

Запись: $113_4$.

Таким образом, в системе счисления с основанием 4 наш диапазон чисел выглядит так:

Шаг 2. Подсчитаем, сколько раз встречается цифра 3

Теперь нужно сосчитать количество появлений цифры $3$ в записях всех чисел.

1. $31_4$ — цифра $3$ встречается 1 раз.
2. $32_4$ — цифра $3$ встречается 1 раз.
3. $33_4$ — цифра $3$ встречается 2 раза.
4. $100_4$ — цифра $3$ не встречается.
5. $101_4$ — цифра $3$ не встречается.
6. $102_4$ — цифра $3$ не встречается.
7. $103_4$ — цифра $3$ встречается 1 раз.
8. $110_4$ — цифра $3$ не встречается.
9. $111_4$ — цифра $3$ не встречается.
10. $112_4$ — цифра $3$ не встречается.
11. $113_4$ — цифра $3$ встречается 1 раз.

Шаг 3. Суммируем

Теперь складываем все вхождения: