Два сообщения содержат одинаковое количество символов. Количество информации в первом тексте в 1,5 раза больше, чем во втором. Сколько символов содержат алфавиты (N1, N2), с помощью которых записаны сообщения, если известно, что число символов в каждом алфавите не превышает 16 и на каждый символ приходится целое число битов

Задача предполагает, что два текста содержат одинаковое количество символов, но первый текст содержит на 1,5 раза больше информации, чем второй. Нам нужно вычислить количество символов в алфавитах, с помощью которых записаны эти сообщения, а также определить, сколько битов на символ.

1. Обозначим параметры:

• Пусть в первом сообщении $L_1$ символов, а во втором — $L_2$. Из условия задачи $L_1 = L_2$, то есть оба сообщения содержат одинаковое количество символов.
• Обозначим количество символов в алфавите для первого сообщения через $N_1$, а для второго — через $N_2$.
• Пусть на каждый символ в первом алфавите требуется $b_1$ бит, а во втором — $b_2$ бит.

2. Суть задачи:

Из условия задачи, количество информации в первом сообщении в 1,5 раза больше, чем во втором. Количество информации в сообщении измеряется через энтропию, которая определяется формулой:

где:

• $I$ — это количество информации в битах,
• $L$ — количество символов в сообщении,
• $N$ — количество символов в алфавите.

Поскольку оба сообщения имеют одинаковое количество символов $L_1 = L_2$, для первого и второго сообщений информация будет вычисляться как:

Из условия задачи, что информация в первом сообщении в 1,5 раза больше, чем во втором, получаем:

Подставим выражения для $I_1$ и $I_2$:

Так как $L_1 = L_2$, упростим:

Теперь выразим $N_1$ через $N_2$. Из логарифмической зависимости получаем:

Таким образом, $N_1 = N_2^{1,5}$.

3. Ограничения:

Нам известно, что количество символов в каждом алфавите не превышает 16. То есть:

4. Решение:

Теперь нужно найти такие $N_1$ и $N_2$, которые удовлетворяют этим условиям. Подставим возможные значения для $N_2$ и вычислим $N_1$.

• Если $N_2 = 4$, тогда $N_1 = 4^{1,5} = 8$.
• Если $N_2 = 8$, тогда $N_1 = 8^{1,5} = 22,627$, что больше 16 — это значение не подходит.
• Если $N_2 = 16$, тогда $N_1 = 16^{1,5} = 64$, что тоже больше 16 — это значение не подходит.

Таким образом, единственная пара значений, которая удовлетворяет всем условиям, это $N_1 = 8$ и $N_2 = 4$