Два текста имеют одинаковый информационный объем, но количество символов во втором тексте в 3.5 раза больше, чем в первом. Определите мощность алфавитов, если известно, что в обоих текстах число символов меньше 200,и на каждый символ приходится целое число битов.

Для решения задачи можно использовать понятие информационного объема текста и количество бит, которые необходимы для представления каждого символа.

Предположим, что первый текст содержит $N$ символов, а второй — $M$ символов. Из условия задачи известно, что:

1. Мощность второго текста в 3.5 раза больше мощности первого, то есть $M = 3.5 \times N$.
2. Количество символов в обоих текстах меньше 200, то есть $N < 200$ и $M < 200$.

Информационный объем текста можно представить через энтропию алфавита, которая зависит от мощности алфавита. Пусть $H$ — это энтропия текста (в битах на символ), которая выражается через мощность алфавита $A$ по формуле:

где $A$ — мощность алфавита (количество различных символов, которые используются в тексте).

Теперь рассмотрим два текста. Пусть:

• $A_1$ — мощность алфавита первого текста.
• $A_2$ — мощность алфавита второго текста.

Тогда информационные объемы этих текстов (в битах) можно записать как:

1. Для первого текста: $N \times H_1 = N \times \log_2 A_1$.
2. Для второго текста: $M \times H_2 = M \times \log_2 A_2$.

Из условия задачи известно, что информационные объемы этих текстов одинаковы. То есть:

Поскольку $M = 3.5 \times N$, подставляем это в уравнение:

Убираем $N$ с обеих сторон (предполагаем, что $N \neq 0$):

Теперь решаем это уравнение относительно мощностей алфавитов. Разделим обе стороны на 3.5:

Преобразуем 1/3.5 в дробь:

Теперь можно выразить мощность второго алфавита через мощность первого. Для этого возведем обе стороны в степень 2:

Таким образом, мощность алфавита второго текста равна $A_1^{2/7}$, что указывает на зависимость мощностей алфавитов друг от друга через степень 2/7.