6cos²x + 5sinx - 7 = 0

Уравнение $6\cos^2(x) + 5\sin(x) - 7 = 0$ можно решить через подстановку, используя тригонометрическое тождество $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$.

1. Подставим выражение для $\cos^2(x)$ через $\sin(x)$:

   $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$.

   Тогда уравнение становится:

   $$6(1 - \sin^2(x)) + 5\sin(x) - 7 = 0$$

2. Раскроем скобки:

   $$6 - 6\sin^2(x) + 5\sin(x) - 7 = 0$$

3. Упростим уравнение:

   $$-6\sin^2(x) + 5\sin(x) - 1 = 0$$

   Это квадратное уравнение относительно $\sin(x)$. Обозначим $y = \sin(x)$, чтобы упростить решение.

   Уравнение примет вид:

   $$-6y^2 + 5y - 1 = 0$$

4. Решим квадратное уравнение с помощью формулы:

   Формула для решения квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$ имеет вид:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   В нашем случае $a = -6$, $b = 5$, $c = -1$.

   Подставляем значения в формулу:

   $$y = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(-6)(-1)}}{2(-6)}$$ $$y = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{-12}$$ $$y = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{-12}$$ $$y = \frac{-5 \pm 1}{-12}$$

5. Вычислим два возможных значения для $y$:

   • $y_1 = \frac{-5 + 1}{-12} = \frac{-4}{-12} = \frac{1}{3}$

   • $y_2 = \frac{-5 - 1}{-12} = \frac{-6}{-12} = \frac{1}{2}$

6. Подставим значения $y_1$ и $y_2$ обратно в $\sin(x)$:

   • Для $\sin(x) = \frac{1}{3}$, $x = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right)$

   • Для $\sin(x) = \frac{1}{2}$, $x = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$

7. Найдем все решения:

   Для $\sin (x)=\frac{1}{3}$