Две стороны треугольника равны 8 см и 4√3 см, а угол между ними-30градусов. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Для решения этой задачи мы можем использовать закон косинусов для нахождения длины третьей стороны и формулу площади треугольника, когда известны две стороны и угол между ними.

1. Нахождение третьей стороны треугольника

   Даны стороны $a = 8$ см, $b = 4\sqrt{3}$ см и угол $\gamma = 30^\circ$ между ними. Третью сторону $c$ мы найдем по закону косинусов:

   $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$

   Подставляем известные значения:

   $c^2 = 8^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)$

   $c^2 = 64 + 48 - 64\sqrt{3} \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

   $c^2 = 64 + 48 - 96 \cdot \frac{1}{2}$

   $c^2 = 64 + 48 - 48$

   $c^2 = 64$

   Таким образом, $c = \sqrt{64} = 8$ см.

2. Нахождение площади треугольника

   Площадь треугольника можно найти, используя формулу:

   $S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$

   Подставляем известные значения:

   $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ)$

   $S = 16\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}$

   $S = 8\sqrt{3}$ см².

Таким образом, третья сторона треугольника равна 8 см, а площадь треугольника составляет $8\sqrt{3}$ см².