В треугольнике ABC угол C=90 градусов, CH — высота, AB=13, tgA=1/5. Найдите AH.

Для того чтобы найти длину отрезка AH в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в вершине C, давайте сначала разберем, что нам известно:

1. Угол C равен 90 градусам, то есть треугольник прямоугольный.

2. CH — высота, проведенная из вершины C на гипотенузу AB.

3. Длина гипотенузы AB = 13.

4. Значение тангенса угла A: $\tan A = \frac{1}{5}$.

Шаг 1. Обозначение сторон треугольника

Пусть:

• $a = BC$ — катет, противолежащий углу A,

• $b = AC$ — катет, прилежащий к углу A,

• $c = AB = 13$ — гипотенуза.

Из условия $\tan A = \frac{1}{5}$, по определению тангенса, получаем:

Следовательно, $a = \frac{b}{5}$.

Шаг 2. Используем теорему Пифагора

В прямоугольном треугольнике ABC выполняется теорема Пифагора:

Подставим $a = \frac{b}{5}$ и $c = 13$:

Решим это уравнение:

Приведем к общему знаменателю:

Умножим обе стороны на 25:

Теперь разделим на 26:

Шаг 3. Находим длину катета $a$

Теперь, зная $b \approx 12.75$, находим $a$:

Шаг 4. Используем формулу для высоты

В прямоугольном треугольнике, высота CH, проведенная на гипотенузу AB, делит гипотенузу на два отрезка: AH и BH. Длина высоты CH может быть найдена по формуле:

Подставим значения:

Шаг 5. Находим AH

Используем тот факт, что произведение отрезков гипотенузы, на которые делится высотой CH, равно произведению катетов:

Обозначим $AH = x$, тогда $BH = 13 - x$. Таким образом, имеем уравнение:

Решим это квадратное уравнение:

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

Таким образом, два возможных значения для $x$: