(х^2-1)^2+(x^2-6x-7)^2=0

Для того чтобы решить уравнение $(x^2 - 1)^2 + (x^2 - 6x - 7)^2 = 0$, давайте проанализируем его пошагово.

1. Сумма квадратов равна нулю:
   Известно, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (он либо положителен, либо равен нулю). Следовательно, для того чтобы сумма двух квадратов была равна нулю, оба этих квадрата должны быть равны нулю одновременно. Это означает, что:

   $$(x^2 - 1)^2 = 0 \quad \text{и} \quad (x^2 - 6x - 7)^2 = 0$$

2. Решение первого уравнения:
   Рассмотрим $(x^2 - 1)^2 = 0$. Для того чтобы квадрат выражения был равен нулю, само выражение должно быть равно нулю:

   $$x^2 - 1 = 0$$

   Решаем это уравнение:

   $$x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1$$

3. Решение второго уравнения:
   Теперь рассмотрим $(x^2 - 6x - 7)^2 = 0$. Аналогично, для того чтобы квадрат был равен нулю, само выражение должно быть равно нулю:

   $$x^2 - 6x - 7 = 0$$

   Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, дискриминант вычисляется по формуле:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   В нашем случае $a = 1$, $b = -6$, $c = -7$:

   $$D = (-6)^2 - 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64$$

   Так как дискриминант положительный, у уравнения два корня:

   $$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{6 \pm 8}{2}$$

   Это даёт два решения:

   $$x = \frac{6 + 8}{2} = 7 \quad \text{и} \quad x = \frac{6 - 8}{2} = -1$$

4. Совмещение решений:
   Мы нашли два возможных значения для первого уравнения $x = 1$ и $x = -1$, а также два значения для второго уравнения $x = 7$ и $x = -1$.

   Таким образом, единственное значение, которое подходит и для первого, и для второго уравнения, это $x = -1$.

Ответ: Единственным решением уравнения $(x^2 - 1)^2 + (x^2 - 6x - 7)^2 = 0$ является $x = -1$.