(1/(5-lgx)) + (2/(1+lgx)) < 1

Для того чтобы решить неравенство $\frac{1}{5 - \lg x} + \frac{2}{1 + \lg x} < 1$, сначала упростим его.

Шаг 1: Введем новую переменную

Для удобства решения введем переменную $y = \lg x$. Тогда $x = 10^y$, и неравенство примет вид:

Шаг 2: Приведем к общему знаменателю

Чтобы решить это неравенство, сначала нужно привести дроби к общему знаменателю. Для этого найдем общий знаменатель для $\frac{1}{5 - y}$ и $\frac{2}{1 + y}$. Общий знаменатель будет $(5 - y)(1 + y)$. Тогда выражение примет вид:

Теперь упростим числитель:

Таким образом, неравенство превращается в:

Шаг 3: Преобразуем неравенство

Теперь перенесем 1 в левую часть неравенства, чтобы привести к более простому виду:

Приведем дроби к общему знаменателю:

Распишем числитель:

Таким образом, числитель становится:

И теперь неравенство принимает вид:

Шаг 4: Анализируем знаки выражения

Чтобы решить это неравенство, нужно определить, при каких значениях $y$ числитель и знаменатель выражения имеют разные знаки, то есть выражение меньше нуля. Для этого рассмотрим:

1. Корни числителя: Найдем корни квадратичного уравнения $y^2 - 5y + 6 = 0$. Используем дискриминант:

Корни уравнения:

Корни:

Таким образом, числитель меняет знак в точках $y = 2$ и $y = 3$.

2. Знаменатель: Проанализируем знаменатель $(5 - y)(1 + y)$. Он равен нулю, когда $y = 5$