Lg(x-2)+lgx=lg8 решение если можно

Решим уравнение:
lg(x - 2) + lg(x) = lg(8)

Шаг 1: Применим свойство логарифма

Напомним, что:

lg(a) + lg(b) = lg(a·b)

Применим это свойство к левой части уравнения:

lg(x - 2) + lg(x) = lg[(x - 2)·x] = lg(x(x - 2))

Получаем:

lg(x(x - 2)) = lg(8)

Шаг 2: Уберём логарифмы, так как основания логарифмов одинаковые

Если lg(A) = lg(B), то A = B, при условии что A > 0 и B > 0.

Итак:

x(x - 2) = 8

Раскроем скобки:

x² - 2x = 8

Шаг 3: Переносим всё в одну сторону

x² - 2x - 8 = 0

Решим квадратное уравнение.

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Находим дискриминант:

D = (-2)² - 4·1·(-8) = 4 + 32 = 36

Корни:

x₁ = [2 + √36]/2 = (2 + 6)/2 = 8/2 = 4
x₂ = [2 - √36]/2 = (2 - 6)/2 = (-4)/2 = -2

Шаг 5: Проверим область допустимых значений (ОДЗ)

У нас были логарифмы:
lg(x - 2) и lg(x)

Логарифм определён только при положительном аргументе, значит:

• x - 2 > 0 → x > 2

• x > 0

Итак, ОДЗ: x > 2

Теперь проверим корни:

• x = 4 → удовлетворяет ОДЗ

• x = -2 → не удовлетворяет (x < 0), выкидываем

Ответ: x = 4 ✅