Самое большое число?

Короткий ответ: в обычных (конечных) числах «самого большого» не существует — к любому можно прибавить 1 и получить ещё большее.

Чуть подробнее и по пунктам:

1. Что значит «нет самого большого числа»
   Если мы говорим о натуральных или целых числах, то множество бесконечно. Для любого n можно взять n+1. Поэтому «последнего» элемента нет.

2. «А бесконечность — это самое большое?»
   В математике символ ∞ — не число в том же смысле, что 7 или 10^100. Это удобная идея «безграничности». В расширенной арифметике используют +∞ и −∞, но к ним нельзя относиться как к обычным числам (например, нет корректного смысла у выражения ∞−∞). Так что «бесконечность» — это не «самое большое число».

3. Разные бесконечности
   Бесконечности тоже бывают разными по размеру. Множество натуральных чисел имеет мощность ℵ₀ (счётная бесконечность), а множество вещественных — несчётную мощность (часто обозначают ?). И это не предел: применяя операцию «множество всех подмножеств», всегда получаем мощность строго больше исходной, поэтому «самой большой бесконечности» тоже нет.

4. «Самое большое, которое кто-то когда-то назвал?»
   Можно описывать гигантские конечные числа. Несколько ориентиров:

• googol = 10^100 — большое, но по меркам теории чисел скромное.

• googolplex = 10^(10^100) — астрономически больше.

• Числа, построенные с помощью башен степеней и тетрад/пентаций, быстро уходят за пределы воображения.

• Graham’s number возник как верхняя оценка в задаче теории Рамсея; его даже невозможно выписать «обычной» десятичной записью — используют специальную нотацию Кнута.

• Есть ещё более «чудовищные» значения из комбинаторики, например TREE(3), которые намного превосходят Graham’s number.
  Но важно: как только вы предложите «самое большое из названных», кто-то может описать ещё большее правилом «возьмём 10 в степени этого числа» — и оно будет больше. Поэтому среди «описуемых конечных чисел» тоже нет максимального.

5. Быстрее всех растёт «бизи-бивер»
   Функция Busy Beaver BB(n) (максимальное число шагов остановки среди всех машин Тьюринга с n состояниями) растёт быстрее любой вычислимой функции. Отдельные её значения конечны, но в принципе не поддаются полному вычислению общими методами. Это иллюстрирует, что «очень большие конечные числа» могут быть не только немыслимо огромными, но и принципиально труднодостижимыми для вычисления.

6. «Самое большое в компьютере» — вот здесь максимум есть
   В конкретной технике предел присутствует: например, беззнаковое 64-битное целое ограничено числом 2^64−1. Но это ограничение формата данных, а не математики.

7. В теории множеств «самого большого порядка/кардинала» нет
   Ординалы (типы порядков) образуют не множество, а «собственный класс» — у любого ординала есть следующий и т. д. Для кардиналов, по теореме Кантора, мощность множества всех подмножеств всегда больше исходной, так что максимального кардинального числа тоже не существует. Даже гипотезы о «больших кардиналах» (неподвижные точки, измеримые и т. п.) вводят всё новые и новые уровни, но не завершают иерархию.

Итог:

• В обычной арифметике нет «самого большого числа».

• «Бесконечность» — не число и у неё нет наибольшего размера: существуют бесконечности всё большей мощности.

• В практических системах (форматы данных, типы в языках программирования) максимум бывает, но это технический предел, а не математический.