2sin²x + sinx = 1

Для того чтобы решить уравнение $2\sin^2(x) + \sin(x) = 1$, можно воспользоваться стандартными методами решения квадратных уравнений.

1. Перепишем уравнение в стандартной форме:

   Уравнение:

   $$2\sin^2(x) + \sin(x) = 1$$

   Переносим 1 в левую часть уравнения:

   $$2\sin^2(x) + \sin(x) - 1 = 0$$

   Это уравнение имеет вид квадратичного, где $\sin(x)$ — это переменная.

2. Решим квадратное уравнение:

   Обозначим $y = \sin(x)$. Тогда у нас получится квадратное уравнение:

   $$2y^2 + y - 1 = 0$$

   Решим его с помощью дискриминанта. Для уравнения вида $ay^2 + by + c = 0$, дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   В нашем случае:

   $$a = 2, \, b = 1, \, c = -1$$

   Тогда:

   $$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$

   Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня. Корни находятся по формуле:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставим значения $a$, $b$ и $D$:

   $$y = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$$

   Получаем два корня:

   $$y_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$

3. Возвращаемся к функции синуса:

   Мы нашли два значения для $y = \sin(x)$:

   • $\sin(x) = \frac{1}{2}$

   • $\sin(x) = -1$

4. Решаем для каждого случая:

   • Для $\sin(x) = \frac{1}{2}$:
     Значения $x$ для этого случая из основного круга (от $0$ до $2\pi$):

     $$x = \frac{\pi}{6}, \, x = \frac{5\pi}{6}$$

     Эти решения повторяются с периодом $2\pi$, то есть:

     $$x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \, x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

   • Для $\sin(x) = -1$:
     Это значение синуса имеет место в точке:

     $$x = \frac{3\pi}{2}$$

     Также с периодом $2\pi$:

     $$x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

5. Ответ:

   Решения уравнения $2\sin^2(x) + \sin(x) = 1$ — это:

   $$x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \, x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \, x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$