(0,4)^(x-1) = (6,25)^(6x-5)

Для того чтобы решить уравнение $(0,4)^{x-1} = (6,25)^{6x-5}$, начнем с приведения обеих сторон к одинаковому основанию. Мы можем записать числа $0,4$ и $6,25$ как степени числа 2 и 5, соответственно.

1. Запишем $0,4$ как $\frac{2}{5}$, а $6,25$ как $\left(\frac{5}{4}\right)^2$.

Итак, у нас есть:

и

Теперь уравнение выглядит так:

2. Чтобы решить это уравнение, возьмем логарифм обеих частей. Для удобства используем натуральный логарифм.

Применяя логарифм:

Используем свойство логарифма, что $\ln(a^b) = b \ln(a)$:

3. Теперь нужно подставить значения логарифмов $\ln\left(\frac{2}{5}\right)$ и $\ln\left(\frac{5}{4}\right)$.

• $\ln\left(\frac{2}{5}\right) = \ln(2) - \ln(5)$,

• $\ln\left(\frac{5}{4}\right) = \ln(5) - \ln(4)$.

Значения логарифмов:

• $\ln(2) \approx 0,693$,

• $\ln(5) \approx 1,609$,

• $\ln(4) = 2 \ln(2) \approx 1,386$.

Подставим эти значения:

4. Упростим выражение:

Раскроем скобки:

5. Упростим обе стороны:

6. Переносим все переменные на одну сторону, а числа на другую:

7. Разделим обе стороны на 3,592: