Решите уравнение 2 sin (в квадрате)x- 7 cos x+ 2 =0

Для решения уравнения $2 \sin^2(x) - 7 \cos(x) + 2 = 0$, можно следовать следующим шагам.

1. Используем тригонометрическую идентичность.

   Мы знаем, что $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$. Поэтому, можно выразить $\sin^2(x)$ через $\cos(x)$:

   $$\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$$

   Подставим это в исходное уравнение:

   $$2(1 - \cos^2(x)) - 7 \cos(x) + 2 = 0$$

2. Упрощаем уравнение.

   Раскрываем скобки:

   $$2 - 2 \cos^2(x) - 7 \cos(x) + 2 = 0$$

   Собираем все константы:

   $$4 - 2 \cos^2(x) - 7 \cos(x) = 0$$

3. Преобразуем в квадратное уравнение.

   Умножим на $-1$ для удобства:

   $$2 \cos^2(x) + 7 \cos(x) - 4 = 0$$

   Получили квадратное уравнение относительно $\cos(x)$:

   $$2y^2 + 7y - 4 = 0$$

   где $y = \cos(x)$.

4. Решаем квадратное уравнение.

   Используем формулу для решения квадратного уравнения:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   где $a = 2$, $b = 7$, $c = -4$. Подставляем значения:

   $$y = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2}$$ $$y = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}$$ $$y = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{4}$$ $$y = \frac{-7 \pm 9}{4}$$

   Таким образом, получаем два значения для $y$:

   $$y_1 = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$$

5. Ищем значения $x$.

   Поскольку $y = \cos(x)$, решаем для каждого случая:

   • Для $\cos(x) = \frac{1}{2}$:

     $$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi$$

     где $n$ — целое число.

   • Для $\cos(x) = -4$:
     Значение $\cos(x) = -4$ невозможно, так как $\cos(x)$ всегда лежит в пределах от -1 до 1. Следовательно, это решение не имеет смысла.

6. Ответ.

   Единственные решения уравнения:

   $$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi$$

   где $n$ — целое число.