Как Карл Гаусс складывал числа от 1 до 100?

Классический трюк Гаусса — «спаривание» крайних слагаемых.

1. Записываем сумму:
   $1+2+3+\dots+99+100$.

2. Спариваем первое и последнее, второе и предпоследнее и т. д.:
   $(1+100) + (2+99) + (3+98) + \dots + (50+51)$.

3. Каждая пара даёт одно и то же число: $1+100=101$, $2+99=101$, …, $50+51=101$.

4. Таких пар ровно 50 (половина из 100 чисел), значит сумма равна:
   $50 \times 101 = 5050$.

Общий вывод из этого приёма: сумма первых $n$ натуральных чисел равна
$\displaystyle 1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}$.
Для $n=100$ получаем $\frac{100\cdot101}{2}=5050$.