Как разделить пятиугольник на три треугольника и на три пятиугольника

Сделать это можно тремя диагоналями.

Возьмите выпуклый пятиугольник $ABCDE$ (вершины по порядку по окружности). Проведите три диагонали:

• $AC$,

• $BD$,

• $CE$.

Обозначьте точки пересечения внутри пятиугольника: $X=AC\cap BD$ и $Y=BD\cap CE$.
Эти три диагонали делят фигуру ровно на 6 областей (формула «1 + число отрезков + число внутренних пересечений» даёт $1+3+2=6$).

Какие именно это области:

• Три треугольника получаются у вершин $A$, $B$ и $E$:

  • при $A$: трёхугольник, ограниченный сторонами $AB$, $AE$ и диагональю $AC$;

  • при $B$: трёхугольник, ограниченный сторонами $AB$, $BC$ и диагональю $BD$;

  • при $E$: трёхугольник, ограниченный сторонами $DE$, $EA$ и диагональю $CE$.

• Три пятиугольника — оставшиеся области:

  1. около вершины $C$: ограничена сторонами $BC$, $CD$ и тремя внутренними отрезками $C\!X\subset AC$, $X\!Y\subset BD$, $Y\!C\subset CE$ — всего 5 сторон;

  2. около вершины $D$: ограничена сторонами $CD$, $DE$ и отрезками $D\!Y\subset BD$, $Y\!E\subset CE$, $X\!D\subset BD$ (в сумме снова 5 сторон);

  3. центральная между проведёнными диагоналями и стороной $BC$/$DE$ (в зависимости от взаимного положения), у которой также насчитывается пять границ (части двух сторон пятиугольника и три куска диагоналей).

Итого после проведения только $AC$, $BD$ и $CE$ вы получаете разбиение исходного пятиугольника на три треугольника и три пятиугольника.