Два крана, работая вместе, разгрузили баржу за 6 часов. За какое время может разгрузить баржу каждый кран, работая отдельно, если один из них разгружает её на 5 часов быстрее второго?

Для того чтобы решить эту задачу, давайте обозначим время, которое требуется каждому крану для разгрузки баржи по отдельности.

Пусть время, которое требуется первому крану для разгрузки баржи, будет равно $x$ часов. Тогда время, которое требуется второму крану, будет на 5 часов больше, то есть $x + 5$ часов.

Когда оба крана работают вместе, они выполняют работу за 6 часов. Скорость работы каждого крана можно выразить как обратную величину времени, которое он тратит на разгрузку баржи. То есть, первый кран разгружает баржу за $x$ часов, его скорость работы будет равна $\frac{1}{x}$, а второй кран, который разгружает баржу за $x + 5$ часов, будет работать со скоростью $\frac{1}{x + 5}$.

Так как оба крана вместе разгружают баржу за 6 часов, их совместная скорость работы будет равна $\frac{1}{6}$. Таким образом, можно составить уравнение:

Теперь решим это уравнение. Для начала приведем его к общему знаменателю:

Упростим числитель:

Теперь умножим обе части уравнения на 6 и на $x(x + 5)$, чтобы избавиться от дробей:

Раскроем скобки:

Переносим все в одну сторону:

Упрощаем:

Теперь решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Таким образом, два корня:

Так как время не может быть отрицательным, то $x = 10$. Это означает, что первый кран разгружает баржу за 10 часов.

Теперь находим время второго крана:

Итак, первый кран разгружает баржу за 10 часов, а второй — за 15 часов.