Два экскаватора, работая одновременно, могут выполнить задание за 3,75 часа.

Первый экскаватор, работая отдельно может выполнить это задание на 4 часа скорее, чем

второй экскаватор . За сколько времени может выполнить задание первый экскаватор, работая отдельно?

Рассмотрим задачу подробно.

Дано:

1. Два экскаватора совместно выполняют работу за $3,75$ часа.
2. Первый экскаватор выполняет задание на $4$ часа быстрее второго.
3. Нужно найти время выполнения задания первым экскаватором, если он работает отдельно.

Обозначим:

• $t_2$ — время, за которое второй экскаватор выполнит задание самостоятельно (в часах).
• $t_1 = t_2 - 4$ — время, за которое первый экскаватор выполнит задание самостоятельно.

1. Найдем производительность каждого экскаватора.

Производительность (доля работы за единицу времени) экскаваторов:

• Первый экскаватор: $\frac{1}{t_1}$.
• Второй экскаватор: $\frac{1}{t_2}$.

Их совместная производительность:

По условию, совместно они выполняют задание за $3,75$ часа, то есть их совместная производительность равна:

Следовательно, можно записать уравнение:

2. Подставим $t_1 = t_2 - 4$ в уравнение.

Подставляя $t_1$ в выражение, получим:

Приведем к общему знаменателю левую часть:

Упростим числитель:

3. Умножим обе части на $t_2(t_2 - 4)$, чтобы избавиться от знаменателя:

Упростим правую часть:

Умножим всё на $15$, чтобы избавиться от дробей:

Раскроем скобки:

Перенесем всё в одну сторону:

Соберем подобные:

4. Решим квадратное уравнение.

Разделим всё уравнение на $2$ для упрощения: