Существует ли целое число, меньшее любого натурального числа?

Да. Более того, таких целых чисел бесконечно много.

Если понимать натуральные числа как $1,2,3,\dots$ (или как $0,1,2,\dots$ — разницы здесь нет), то любое отрицательное целое $m$ удовлетворяет неравенству $m$ для любого натурального $n$. Например, $-1<0$, $-1<1$, $-1<2$, и так далее; то же верно для $-2,-3,\dots$. Значит, существует целое число, меньшее любого натурального (и даже бесконечно много таких чисел).

Отдельно: если бы спрашивали о «наименьшем целом числе», его не существует — множество целых не ограничено снизу. Но именно «целое, меньшее любого натурального» существует (любое отрицательное подойдет).