25^(x-1.5) - 12*5^(x-2) + 7 = 0

Чтобы решить уравнение $25^{x-1.5} - 12 \cdot 5^{x-2} + 7 = 0$, можно выполнить несколько преобразований.

1. Перепишем уравнение, используя представление 25 через степень 5. Так как $25 = 5^2$, можно переписать первый член уравнения как:

   $$25^{x - 1.5} = (5^2)^{x - 1.5} = 5^{2(x - 1.5)} = 5^{2x - 3}.$$

   Таким образом, уравнение принимает вид:

   $$5^{2x - 3} - 12 \cdot 5^{x - 2} + 7 = 0.$$

2. Введем замену. Пусть $y = 5^{x - 2}$. Тогда:

   $$5^{2x - 3} = 5^{2(x - 2) + 1} = 5 \cdot 5^{2(x - 2)} = 5y^2.$$

   Уравнение теперь выглядит как:

   $$5y^2 - 12y + 7 = 0.$$

3. Решим полученное квадратное уравнение. Для этого используем формулу для решения квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$

   В нашем случае $a = 5$, $b = -12$, $c = 7$, и подставляем в формулу:

   $$y = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7}}{2 \cdot 5}.$$ $$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 140}}{10} = \frac{12 \pm \sqrt{4}}{10} = \frac{12 \pm 2}{10}.$$

   Получаем два возможных значения для $y$:

   $$y = \frac{12 + 2}{10} = \frac{14}{10} = 1.4 \quad \text{или} \quad y = \frac{12 - 2}{10} = \frac{10}{10} = 1.$$

4. Возвращаемся к переменной $x$. Напоминаем, что $y = 5^{x - 2}$. Рассмотрим оба случая.

   • Для $y = 1.4$:

     $$5^{x - 2} = 1.4 \quad \Rightarrow \quad x - 2 = \log_5 1.4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 + \log_5 1.4.$$

     Это выражение можно оставить в таком виде, так как логарифм в основании 5 не имеет простого значения, но его можно вычислить численно.

   • Для $y = 1$:

     $$5^{x - 2} = 1 \quad \Rightarrow \quad x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2.$$

Таким образом, решения уравнения: