Решить неравенство: корень из x+8 > x+2

Решим неравенство $\sqrt{x + 8} > x + 2$.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ):

   Для того чтобы выражение $\sqrt{x + 8}$ было определено, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

   $$x + 8 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -8$$

   Это означает, что решение возможно только при $x \geq -8$.

2. Преобразование неравенства:

   Теперь рассмотрим неравенство $\sqrt{x + 8} > x + 2$. Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части неравенства в квадрат:

   $$(\sqrt{x + 8})^2 > (x + 2)^2$$

   Это даст:

   $$x + 8 > (x + 2)^2$$

3. Раскрытие скобок:

   Раскроем правую часть:

   $$x + 8 > x^2 + 4x + 4$$

4. Перенос всех членов в одну сторону:

   Переносим все члены на одну сторону, чтобы привести неравенство к стандартному виду:

   $$0 > x^2 + 4x + 4 - x - 8$$

   Упростим:

   $$0 > x^2 + 3x - 4$$

   Или, что то же самое:

   $$x^2 + 3x - 4 < 0$$

5. Решение квадратного неравенства:

   Теперь решим неравенство $x^2 + 3x - 4 < 0$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

   $$x^2 + 3x - 4 = 0$$

   Используем формулу для корней квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Здесь $a = 1$, $b = 3$, $c = -4$. Подставляем в формулу:

   $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2}$$ $$x = \frac{-3 \pm 5}{2}$$

   Таким образом, корни уравнения:

   $$x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4$$

   Это означает, что выражение $x^2 + 3x - 4$ меняет знак в точках $x = -4$ и $x = 1$. Мы должны найти, на каком промежутке это выражение меньше нуля.

6. Анализ знаков:

   Рассмотрим знаки выражения $x^2 + 3x - 4$ на интервалах:

   • Для $x < -4$ (например, $x = -5$): $(-5)^2 + 3(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6$ (положительно).

   • Для $-4 < x < 1$ (например, $x = 0$): $0^2 + 3(0) - 4 = -4$