Сравнения логарифмов.
a) log 5 по основанию 7 и log 6 по основанию 5
б) log 9 по основанию 0,4 и log 8 по основанию 0,4
в) log 7 по основанию 5 и log 7 по основанию 4
г) log 3 по основанию 2 и log 4 по основанию 3

Чтобы сравнить логарифмы, мы можем использовать свойства логарифмов и основные правила неравенств. Рассмотрим каждый из предложенных случаев по отдельности:

a) $\log_7(5)$ и $\log_5(6)$

Чтобы сравнить эти два логарифма, можно воспользоваться изменением основания логарифма:

1. Изменение основания для $\log_7(5)$:

   $$\log_7(5) = \frac{\log(5)}{\log(7)}$$

2. Изменение основания для $\log_5(6)$:

   $$\log_5(6) = \frac{\log(6)}{\log(5)}$$

Теперь мы можем сравнить два дробных выражения. Зная, что логарифмы положительных чисел больше 1 являются положительными, а логарифмы чисел меньше 1 — отрицательными, можем использовать числовые значения логарифмов (например, натуральные логарифмы или десятичные):

• $\log(5) \approx 0.699$
• $\log(6) \approx 0.778$
• $\log(7) \approx 0.845$

Теперь подставим значения в дроби:

Следовательно, $\log_7(5) < \log_5(6)$.

б) $\log_{0.4}(9)$ и $\log_{0.4}(8)$

Поскольку основание логарифма (0.4) меньше 1, свойства логарифмов говорят о том, что если логарифм рассматриваемого числа больше, то сам логарифм будет меньше, и наоборот:

1. Сравниваем числа 9 и 8: $$9 > 8$$

Таким образом, мы можем утверждать, что:

в) $\log_5(7)$ и $\log_4(7)$

Для сравнения этих логарифмов также применим изменение основания:

1. Изменение основания для $\log_5(7)$:

   $$\log_5(7) = \frac{\log(7)}{\log(5)}$$

2. Изменение основания для $\log_4(7)$:

   $$\log_4(7) = \frac{\log(7)}{\log(4)}$$

Так как $\log(7)$ одинаковый для обоих выражений, мы можем сравнить дроби $\frac{1}{\log(5)}$ и $\frac{1}{\log(4)}$:

• $\log(4) \approx 0.602$
• $\log(5) \approx 0.699$

Так как $\log(4) < \log(5)$, следовательно:

Таким образом, $\log_5(7) > \log_4(7)$.

г) $\log_2(3)$ и $\log_3(4)$

Сравним логарифмы с использованием изменения основания:

1. Изменение основания для $\log_2(3)$:

   $$\log_2(3) = \frac{\log(3)}{\log(2)}$$

2. Изменение основания для $\log_3(4)$:

   $$\log_3(4) = \frac{\log(4)}{\log(3)}$$

Теперь сравниваем: