Два камня расположены на одной горизонтали на расстоянии 42 м друг от друга. Один камень бросают вертикально вверх со скоростью 5 м/с, а второй одновременно бросают под углом 30° к горизонту по направлению к первому камню со скоростью 8 м/с. Чему равно наименьшее расстояние между камнями в процессе движения?

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем движение камней на горизонтальную и вертикальную составляющие.

1. Камень 1 (бросается вертикально вверх):

   • Начальная скорость $V_{1y} = 5 \, \text{м/с}$.
   • Положение по вертикали в момент времени $t$: $$y_1(t) = V_{1y} t - \frac{g t^2}{2}$$ где $g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения.

2. Камень 2 (бросается под углом 30°):

   • Начальная скорость $V_{2} = 8 \, \text{м/с}$.
   • Горизонтальная и вертикальная компоненты скорости: $$V_{2x} = V_{2} \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \, \text{м/с}$$ $$V_{2y} = V_{2} \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \, \text{м/с}$$
   • Положение по вертикали в момент времени $t$: $$y_2(t) = V_{2y} t - \frac{g t^2}{2} = 4t - \frac{9.81 t^2}{2}$$
   • Положение по горизонтали в момент времени $t$: $$x_2(t) = V_{2x} t = 4\sqrt{3} t \approx 6.93 t$$

3. Расстояние между камнями:

   • Горизонтальное положение камня 1 остается постоянным на уровне 0 м, а положение камня 2 будет: $$x_2(t) = 6.93 t$$
   • Расстояние между камнями по горизонтали: $$d(t) = 42 - x_2(t) = 42 - 6.93 t$$

4. Вертикальная разность:

   • Разница в высоте между камнями: $$\Delta y(t) = y_1(t) - y_2(t) = \left( 5t - \frac{9.81 t^2}{2} \right) - \left( 4t - \frac{9.81 t^2}{2} \right) = t$$

5. Общее расстояние:

   • Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления общего расстояния между камнями: $$D(t) = \sqrt{(d(t))^2 + (\Delta y(t))^2} = \sqrt{(42 - 6.93 t)^2 + t^2}$$

6. Минимизация расстояния:

   • Для нахождения минимального расстояния нужно взять производную $D(t)$ по времени $t$, установить её равной нулю и решить уравнение. Однако для упрощения можно заметить, что расстояние между камнями будет минимальным в момент времени, когда камень 2 поднимется на максимальную высоту, а камень 1 уже начинает падать.
   • Максимальная высота камня 2 достигается при $V_{2y} - gt = 0$: $$4 - 9.81 t = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{9.81} \approx 0.408 \, \text{с}$$

7. Подставим это время в уравнения:

   • Положение камня 2 по горизонтали: $$x_2(0.408) = 6.93 \cdot 0.408 \approx 2.83 \, \text{м}$$
   • Положение камня 1 по вертикали: $$y_1(0.408) = 5 \cdot 0.408 - \frac{9.81 \cdot (0.408)^2}{2} \approx 1.02 \, \text{м}$$