На новогодние праздники мама купила детям шоколадки трех видов: большие, средние и маленькие. Каждая большая шоколадка стоит 60 руб., средняя 40 руб., маленькая 20 руб. За 15 шоколадок мама заплатила 800 рублей. какое наименьшее число больших шоколадок могла купить мама?

Чтобы решить задачу, давайте введем переменные и составим уравнения, исходя из условий.

Обозначим:

• $x$ — количество больших шоколадок,
• $y$ — количество средних шоколадок,
• $z$ — количество маленьких шоколадок.

Из условия задачи мы знаем:

1. Цена шоколадок:

   • Большая шоколадка стоит 60 рублей,
   • Средняя шоколадка — 40 рублей,
   • Маленькая шоколадка — 20 рублей.

2. Всего шоколадок: Мама купила 15 шоколадок. Это дает уравнение:

   $$x + y + z = 15$$

3. Общая стоимость: Мама заплатила 800 рублей за все шоколадки. Это дает уравнение:

   $$60x + 40y + 20z = 800$$

Упрощение второго уравнения

Для удобства можно упростить второе уравнение, разделив все его части на 20:

Итак, у нас есть система уравнений:

Решение системы уравнений

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от переменной $z$:

Теперь у нас есть две зависимости:

1. $x + y + z = 15$
2. $2x + y = 25$

Подставим значения для поиска минимального числа больших шоколадок

Наша цель — минимизировать $x$, количество больших шоколадок. Для этого начнем с наименьших значений $x$, которые все еще позволяют уравнениям быть истинными.

Проверим, если $x = 8$:

1. Подставим $x = 8$ во второе уравнение:

   $$2 \cdot 8 + y = 25$$ $$16 + y = 25$$ $$y = 9$$

2. Подставим $x = 8$ и $y = 9$ в первое уравнение, чтобы найти $z$:

   $$8 + 9 + z = 15$$ $$z = -2$$

$z$ не может быть отрицательным числом, поэтому $x = 8$ нам не подходит.

Проверим, если $x = 7$:

1. Подставим $x = 7$ во второе уравнение:

   $$2 \cdot 7 + y = 25$$ $$14 + y = 25$$ $$y = 11$$

2. Подставим $x = 7$ и $y = 11$ в первое уравнение:

   $$7 + 11 + z = 15$$ $$z = -3$$

Опять $z$ отрицателен, так что $x = 7$ также не подходит.

Проверим, если $x = 6$:

1. Подставим $x = 6$ во второе уравнение:

   $$2 \cdot 6 + y = 25$$ $$12 + y = 25$$ $$y = 13$$

2. Подставим $x = 6$ и $y = 13$ в первое уравнение:

   $$6 + 13 + z = 15$$ $$z = -4$$

Этот случай также невозможен.

Проверим, если $x = 5$:

1. Подставим $x = 5$ во второе уравнение:

   $$2 \cdot 5 + y = 25$$ $$10 + y = 25$$ $$y = 15$$

2. Подставим $x = 5$ и $y = 15$ в первое уравнение:

   $$5 + 15 + z = 15$$ $$z = 0$$

Этот вариант удовлетворяет всем условиям задачи:

• Всего шоколадок: $x + y + z = 5 + 15 + 0 = 15$,
• Общая стоимость: $60 \cdot 5 + 40 \cdot 15 + 20 \cdot 0 = 300 + 500 + 0 = 800$.

Ответ

Наименьшее число больших шоколадок, которое могла купить мама, — это 5.