(X-2)(4x+4)(2x-6)≥0

Для решения неравенства $(X - 2)(4x + 4)(2x - 6) \geq 0$ нужно пройти несколько шагов.

1. Упростим выражение:

   $$(X - 2)(4x + 4)(2x - 6) = (X - 2)(4(x + 1))(2(x - 3))$$

   Получается:

   $$(X - 2) \cdot 4(x + 1) \cdot 2(x - 3)$$

   Это можно переписать как:

   $$8(x - 2)(x + 1)(x - 3)$$

2. Находим нули функции:
   Чтобы найти, где выражение равно нулю, приравняем каждый множитель к нулю:

   • $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

   • $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

   • $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

Таким образом, нули функции — это $x = -1$, $x = 2$ и $x = 3$.

3. Определяем знаки на интервалах:
   Разделим числовую ось на интервалы, используя найденные нули:

   • $(-∞, -1)$

   • $(-1, 2)$

   • $(2, 3)$

   • $(3, ∞)$

Теперь проверим знак произведения на каждом интервале. Для этого подставим любое значение из каждого интервала в выражение $(x - 2)(x + 1)(x - 3)$:

• На интервале $(-∞, -1)$: выберем, например, $x = -2$. Подставляем:

  $$(-2 - 2) \cdot (-2 + 1) \cdot (-2 - 3) = (-4) \cdot (-1) \cdot (-5) = -20$$

  Знак отрицательный.

• На интервале $(-1, 2)$: выберем, например, $x = 0$. Подставляем:

  $$(0 - 2) \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 3) = (-2) \cdot 1 \cdot (-3) = 6$$

  Знак положительный.

• На интервале $(2, 3)$: выберем, например, $x = 2.5$. Подставляем:

  $$(2.5 - 2) \cdot (2.5 + 1) \cdot (2.5 - 3) = (0.5) \cdot 3.5 \cdot (-0.5) = -0.875$$

  Знак отрицательный.

• На интервале $(3, ∞)$: выберем, например, $x = 4$. Подставляем:

  $$(4 - 2) \cdot (4 + 1) \cdot (4 - 3) = 2 \cdot 5 \cdot 1 = 10$$

  Знак положительный.

4. Учитываем знак неравенства:
   Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю ($\geq 0$). Это значит, что нас интересуют участки, где произведение положительно или равно нулю.

• На интервале $(-∞, -1)$ выражение отрицательно.

• На интервале $(-1, 2)$ выражение положительно.

• На интервале $(2, 3)$ выражение отрицательно.

• На интервале $(3, ∞)$ выражение положительно.

5. Проверяем включение точек:
   Мы ищем неравенство $\geq 0$, то есть выражение должно быть равно нулю в точках, где $x = -1$, $x = 2$, и $x = 3$, потому что в этих точках произведение равно нулю. Значит, эти точки включаются в решение.

6. Решение:
   Итак, решение неравенства $(x - 2)(x + 1)(x - 3) \geq 0$ включает следующие интервалы:

   $$x \in [-1, 2] \cup [3, ∞)$$