A) tg^2x-6tgx+5=0 б) tg^2x-2tgx-3=0

Для решения уравнений с тангенсом, давайте будем работать с каждым уравнением отдельно.

а) $\tan^2(x) - 6\tan(x) + 5 = 0$

1. Пусть $t = \tan(x)$. Тогда уравнение превращается в квадратное:

   $$t^2 - 6t + 5 = 0$$

2. Решаем это квадратное уравнение по формуле дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16$$ $$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}$$

   Получаем два корня:

   $$t_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5, \quad t_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1$$

3. Вернемся к тангенсу. У нас есть два случая:

   • $\tan(x) = 5$

   • $\tan(x) = 1$

4. Для каждого случая решим уравнение:

   • $\tan(x) = 5$ означает, что $x = \tan^{-1}(5) + k\pi$, где $k$ — целое число.

   • $\tan(x) = 1$ означает, что $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, где $k$ — целое число.

Ответ для пункта а):
$x = \tan^{-1}(5) + k\pi$ или $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, где $k$ — целое число.

б) $\tan^2(x) - 2\tan(x) - 3 = 0$

1. Пусть снова $t = \tan(x)$. Тогда уравнение превращается в квадратное:

   $$t^2 - 2t - 3 = 0$$

2. Решаем это уравнение по формуле дискриминанта:

   $$D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$$ $$t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{D}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$

   Получаем два корня:

   $$t_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad t_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$$

3. Вернемся к тангенсу. У нас есть два случая:

   • $\tan(x) = 3$

   • $\tan(x) = -1$

4. Для каждого случая решим уравнение:

   • $\tan(x) = 3$ означает, что $x = \tan^{-1}(3) + k\pi$, где $k$ — целое число.

   • $\tan(x) = -1$ означает, что $x = \frac{3\pi}{4} + k\pi$, где $k$ — целое число.

Ответ для пункта б):
$x = \tan^{-1}(3) + k\pi$