Какое наименьшее неотрицательное число может получиться, если расставить знаки "+" или "-" между каждыми двумя соседними цифрами числа 123456789?

Нужно расставить между соседними цифрами только знаки «+» или «−», то есть получится выражение вида

Обозначим через $S$ сумму тех цифр, перед которыми стоит минус (то есть которые мы “вычитаем”). Тогда вся сумма равна:

• если бы все были с плюсом, было бы $1+2+\dots+9 = 45$;

• каждую цифру, которую мы меняем с «+» на «−», мы уменьшаем итог на $2$ раза эту цифру (потому что было $+d$, стало $-d$, разница $-2d$).

Значит итоговое значение выражения:

Нам нужно наименьшее неотрицательное значение, то есть минимизировать $45 - 2S$ при условии $45 - 2S \ge 0$.

1) Когда результат неотрицательный?

Так как $S$ — целое (сумма цифр), получаем:

2) Как сделать результат как можно меньше?

Нужно сделать $S$ как можно больше, но не превышая 22. Тогда значение $45-2S$ будет минимальным среди неотрицательных.

Берём $S=22$. Тогда:

Осталось убедиться, что сумму $22$ действительно можно набрать из цифр $1,2,\dots,9$. Это можно, например:

Значит можно поставить минусы перед 5, 8 и 9.

Например, выражение:

Проверим:

• сумма вычитаемых $S = 5+8+9 = 22$,

• итог $= 45 - 2\cdot 22 = 1$.

3) Может ли быть 0?

Чтобы получить 0, нужно:

а это невозможно, потому что $S$ целое.

Ответ: наименьшее неотрицательное число — $1$.