Проведем из одной точки на плоскости пять лучей так, чтобы углы между соседними лучами были
острыми. Сколько всего острых углов может быть на таком рисунке (не только
между соседними, но и между любыми двумя лучами)?  

Давайте разберёмся с задачей. У нас есть пять лучей, проведённых из одной точки, так что углы между соседними лучами острые. Нужно определить, сколько всего острых углов может быть между любыми двумя лучами.

1. Основные определения и свойства

• Острый угол — угол, меньший $90^\circ$.
• Все углы между любыми двумя лучами, проведёнными из одной точки, находятся в пределах $0^\circ$ до $180^\circ$, так как лучи из одной точки образуют полный круг, который равен $360^\circ$.

2. Условие задачи

Поскольку углы между соседними лучами острые, каждый из этих углов меньше $90^\circ$. Если лучи пронумеровать $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$, то углы между соседними лучами будут:

По условию все эти углы острые, то есть каждый из них меньше $90^\circ$.

3. Углы между любыми двумя лучами

Рассмотрим теперь углы между любыми двумя лучами, не только соседними. Для пяти лучей существует $\binom{5}{2} = 10$ пар, значит, всего можно рассмотреть 10 углов. Эти углы делятся на две группы:

1. Острые углы — те, которые меньше $90^\circ$;
2. Тупые углы — те, которые больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

Так как $360^\circ$ — полный круг, а все лучи находятся в нём, углы между любыми двумя лучами связаны следующим образом: если угол $\alpha$ острый, то дополнительный угол $(180^\circ - \alpha)$ — тупой.

4. Максимальное количество острых углов

Для определения максимального количества острых углов важно понимать, как расположены лучи. Если все пять углов между соседними лучами острые (меньше $90^\circ$), то большая часть углов между любыми двумя лучами будет острыми.

Подсчёт:

1. Углы между соседними лучами — все острые ($5$ штук).
2. Углы между лучами, которые пропускают один промежуточный луч, также могут быть острыми. Например, $\angle A_1A_3$, $\angle A_2A_4$, и т. д. Их $5$.
3. Углы между лучами, которые пропускают два промежуточных луча, вероятно, тупые, так как сумма углов начинает превышать $90^\circ$. Например, $\angle A_1A_4$.

Таким образом, если лучи правильно расположены, максимальное количество острых углов будет $5 + 3 = 8$.

Итог

На таком рисунке может быть до 8 острых углов.