В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 - микроволновку и телевизор, 15 - холодильник и телевизор, а все три покупки совершили 3 человека. Были ли среди них покупатели, не купившие ничего? Как решить эту задачу с помощью кругов Эйлера?

Да, были: 8 человек ничего не купили.

Ниже — как это решается через круги Эйлера (диаграмму Венна) для трёх товаров.

1) Обозначим круги

Пусть:

• круг Х — покупатели холодильников (35),

• круг М — покупатели микроволновок (36),

• круг Т — покупатели телевизоров (37).

Пересечения:

• Х ∩ М = 20

• М ∩ Т = 19

• Х ∩ Т = 15

• Х ∩ М ∩ Т = 3

Всего в магазин заходило 65 человек.

Нужно понять, есть ли люди вне всех трёх кругов, то есть не купившие ничего.

2) Заполняем диаграмму по областям

Шаг А. Центр (все три покупки)

В самую середину (пересечение всех трёх кругов) сразу ставим:

• Х ∩ М ∩ Т = 3

Шаг Б. Парные пересечения “только два товара”

В данных “купили холодильник и микроволновку = 20” входят и те, кто купил все три.
Значит область только (Х и М), без Т равна:

• (Х ∩ М) только = 20 − 3 = 17

Аналогично:

• (М ∩ Т) только = 19 − 3 = 16

• (Х ∩ Т) только = 15 − 3 = 12

То есть на диаграмме уже стоят области:

• только ХМ = 17

• только МТ = 16

• только ХТ = 12

• все три = 3

Шаг В. “Только один товар”

Теперь добираем чистые области каждого круга.

Только холодильники (Х только)

Всего холодильники купили 35. Из них уже учтены:

• в ХМ только: 17

• в ХТ только: 12

• в центре (все три): 3

Значит:

• Х только = 35 − (17 + 12 + 3) = 35 − 32 = 3

Только микроволновки (М только)

Всего микроволновки купили 36. Уже учтены:

• в ХМ только: 17

• в МТ только: 16

• в центре: 3

Значит:

• М только = 36 − (17 + 16 + 3) = 36 − 36 = 0

(Это нормально: получается, что микроволновки все покупали либо вместе с холодильником, либо вместе с телевизором, либо все три.)

Только телевизоры (Т только)

Всего телевизоры купили 37. Уже учтены:

• в ХТ только: 12

• в МТ только: 16

• в центре: 3

Значит:

• Т только = 37 − (12 + 16 + 3) = 37 − 31 = 6

3) Сколько людей купили хотя бы что-то?

Теперь просто складываем все 7 внутренних областей диаграммы:

• Х только: 3

• М только: 0

• Т только: 6

• ХМ только: 17

• МТ только: 16

• ХТ только: 12

• ХМТ: 3

Сумма:

• 3 + 0 + 6 + 17 + 16 + 12 + 3 = 57

Значит 57 человек совершили хотя бы одну покупку.

4) Сколько не купили ничего?

Всего посетителей 65, покупатели хотя бы чего-то — 57, значит вне кругов:

• 65 − 57 = 8

Ответ

Да, были. Не купили ничего — 8 человек.