В круг вписан квадрат. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в круг, окажется внутри квадрата.

Пусть радиус окружности равен $R$.

Вероятность того, что случайно брошенная в круг точка попадёт внутрь квадрата, равна отношению площади квадрата к площади круга:

Найдём площадь квадрата.

Так как квадрат вписан в круг, его диагональ равна диаметру окружности:

У квадрата со стороной $a$ диагональ связана с ней формулой:

Значит,

откуда

Площадь квадрата:

Площадь круга:

Теперь найдём вероятность:

Радиус сокращается:

Следовательно, вероятность попадания точки внутрь вписанного в круг квадрата равна

Приблизительно:

То есть вероятность составляет около 63,7%.