Найти производную функции f (x)=4^2x-1 f (x)=cos (4x+5) f (x)=корень 2x^2-1

Давай разберём все три функции по порядку и найдём их производные. Постараюсь объяснять шаг за шагом, чтобы было понятно, как применяется правило дифференцирования.

1. Функция: $f(x) = 4^{2x-1}$

Это экспоненциальная функция с основанием 4, где показатель — линейная функция $2x - 1$.

Правило: если $f(x) = a^{g(x)}$, то

• $a = 4$

• $g(x) = 2x - 1 \implies g'(x) = 2$

Подставляем:

✅ Ответ:

2. Функция: $f(x) = \cos(4x + 5)$

Это классическая тригонометрическая функция, применяем цепное правило.

Правило: если $f(x) = \cos(g(x))$, то

• $g(x) = 4x + 5 \implies g'(x) = 4$

Подставляем:

✅ Ответ:

3. Функция: $f(x) = \sqrt{2x^2 - 1}$

Корень можно записать как степень $1/2$:

Правило цепочки: если $f(x) = [g(x)]^n$, то

• $n = 1/2$

• $g(x) = 2x^2 - 1 \implies g'(x) = 4x$

Подставляем:

✅ Ответ:

Итоговые производные всех функций:

1. $f(x) = 4^{2x-1} \implies f'(x) = 2 \ln(4) \cdot 4^{2x-1}$