Решить уравнение \( x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0 \).

Для решения кубического уравнения $x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0$ будем искать корни методом подбора и синтетического деления.

1. Подбор возможных корней:
   Начнем с подбора целых корней уравнения, используя теорему о возможных целых корнях. По теореме, возможные целые корни — это делители свободного члена (в данном случае $-5$) деленные на делители старшего коэффициента (в данном случае 1).

   Свободный член: $-5$, делители $-5$ — это: $\pm 1, \pm 5$.

   Проверим эти значения:

   • $x = 1$:

     $$1^3 + 5 \cdot 1^2 - 1 - 5 = 1 + 5 - 1 - 5 = 0$$

     $x = 1$ — это корень уравнения.

2. Деление на $x - 1$:
   Теперь, зная, что $x = 1$ — корень уравнения, можно разделить многочлен $x^3 + 5x^2 - x - 5$ на $x - 1$ с помощью синтетического деления.

   Синтетическое деление:

   $$\begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 5 & -1 & -5 \\ & & 1 & 6 & 5 \\ \hline & 1 & 6 & 5 & 0 \\ \end{array}$$

   Получаем остаток 0, и результат деления: $x^2 + 6x + 5$.

3. Решаем квадратное уравнение:
   Теперь решаем квадратное уравнение $x^2 + 6x + 5 = 0$. Для этого используем дискриминант:

   $$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$$

   Так как дискриминант положительный, у уравнения два корня:

   $$x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 4}{2}$$

   Получаем два корня:

   $$x = \frac{-6 + 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x = \frac{-6 - 4}{2} = -5$$

4. Ответ:
   Таким образом, корни уравнения $x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0$ — это $x = 1$, $x = -1$, и $x = -5$.