Может ли число, записанное с помощью 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?

Ответы на вопрос

Отвечает Чурсина Алёна.

Нет, такое число не может быть точным квадратом.

Пусть дано число, в десятичной записи которого ровно:

Посмотрим на сумму его цифр:

100\cdot 0 + 100\cdot 1 + 100\cdot 2 = 0 + 100 + 200 = 300.

Известный признак делимости: число имеет тот же остаток при делении на 9, что и сумма его цифр.

Значит, наше число имеет тот же остаток по модулю 9, что и число 300.

300 = 9\cdot 33 + 3,

поэтому

300 \equiv 3 \pmod 9.

Следовательно, само число тоже дает остаток 3 при делении на 9:

N \equiv 3 \pmod 9.

Теперь посмотрим, какие остатки по модулю 9 может давать квадрат целого числа.

Любое целое число по модулю 9 сравнимо с одним из чисел:

0,1,2,3,4,5,6,7,8.

Возведем их в квадрат по модулю 9:

0^2 \equiv 0,

1^2 \equiv 1,

2^2 = 4 \equiv 4,

3^2 = 9 \equiv 0,

4^2 = 16 \equiv 7,

5^2 = 25 \equiv 7,

6^2 = 36 \equiv 0,

7^2 = 49 \equiv 4,

8^2 = 64 \equiv 1.

То есть квадрат целого числа по модулю 9 может давать только остатки

0,1,4,7.

Остатка 3 среди них нет.

А наше число обязательно имеет остаток 3 при делении на 9. Значит, оно не может быть квадратом целого числа.

Итак, число, записанное с помощью 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, не может быть точным квадратом.

Последние заданные вопросы в категории Математика

Ответы на вопрос