Докажите, что: 1) 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 > 1/3; 2) 1/51 + 1/52 + 1/53 + ... + 1/90 + 1/100 > 1/2

Хорошо, давайте разберём оба утверждения по шагам, используя простой подход с неравенствами и оценками, без сложных формул.

1) Докажем, что

Пошаговое рассуждение:

1. Сначала заметим, что $\frac{1}{n}$ убывает с ростом $n$.

2. Для упрощения оценим сумму снизу, взяв наименьшие знаменатели в группах:

Здесь мы взяли самую маленькую дробь $1/15$ как нижнюю границу всех слагаемых. Поскольку каждая из дробей больше $1/15$, сумма точно больше $5 \cdot 1/15 = 1/3$.

✅ Таким образом, первое неравенство доказано.

2) Докажем, что

Здесь сумма больше, и придётся использовать метод группирования.

Пошаговое рассуждение:

1. Рассмотрим, что сумма от $1/51$ до $1/100$ имеет 50 слагаемых примерно.

2. Разобьём их на группы по два:

3. В каждой паре $(1/n + 1/(n+1))$ можно использовать нижнюю границу:

Но лучше воспользоваться более грубой оценкой:

• Заметим, что от 51 до 100 больше 50 чисел, и каждая дробь больше 1/100, поэтому:

Да, это работает! Потому что каждое слагаемое ≥ 1/100, а их как минимум 50, значит сумма ≥ 50/100 = 1/2. На самом деле сумма будет немного больше, так как многие дроби больше 1/100.

✅ Таким образом, второе неравенство также доказано.

Вывод

1. $\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} > \frac{1}{3}$ доказано через нижнюю оценку наименьшей дробью.

2. $\frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \dots + \frac{1}{100} > \frac{1}{2}$ доказано через оценку каждой дроби ≥ 1/100 и количество слагаемых ≥ 50.

Оба неравенства выполнены.

Если хочешь, могу показать ещё более точное приближение суммы для второго пункта, чтобы увидеть, насколько она больше 1/2.