Решите уравнение (x-1)(x² + 6x + 9) = 5(x + 3)

Для решения уравнения $(x-1)(x^2 + 6x + 9) = 5(x + 3)$ выполним следующие шаги:

1. Раскроем скобки с левой стороны:

   У нас есть произведение $(x-1)$ и $(x^2 + 6x + 9)$. Это выражение можно упростить, используя распределительный закон:

   $$(x-1)(x^2 + 6x + 9) = x(x^2 + 6x + 9) - 1(x^2 + 6x + 9)$$

   Теперь раскроем каждое произведение:

   $$x(x^2 + 6x + 9) = x^3 + 6x^2 + 9x$$ $$-1(x^2 + 6x + 9) = -x^2 - 6x - 9$$

   Таким образом, левая часть уравнения становится:

   $$x^3 + 6x^2 + 9x - x^2 - 6x - 9$$

   Теперь объединим подобные члены:

   $$x^3 + (6x^2 - x^2) + (9x - 6x) - 9 = x^3 + 5x^2 + 3x - 9$$

2. Переносим правую часть уравнения в левую:

   Правая часть уравнения равна $5(x + 3)$. Раскроем скобки:

   $$5(x + 3) = 5x + 15$$

   Теперь перенесем все элементы на одну сторону, чтобы уравнение стало равным нулю:

   $$x^3 + 5x^2 + 3x - 9 - 5x - 15 = 0$$

   Упростим выражение, объединив подобные члены:

   $$x^3 + 5x^2 - 2x - 24 = 0$$

3. Попробуем решить кубическое уравнение:

   Попробуем найти хотя бы один корень уравнения методом подбора. Для этого подставим различные значения $x$.

   • Подставим $x = 2$:

   $$2^3 + 5 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 - 24 = 8 + 20 - 4 - 24 = 0$$

   Таким образом, $x = 2$ является корнем уравнения.

4. Разделим многочлен на $(x - 2)$:

   Для этого используем деление многочлена. Разделим $x^3 + 5x^2 - 2x - 24$ на $x - 2$.

   При делении $x^3 + 5x^2 - 2x - 24$ на $x - 2$ получаем:

   $$x^3 + 5x^2 - 2x - 24 = (x - 2)(x^2 + 7x + 12)$$

5. Решим квадратное уравнение $x^2 + 7x + 12 = 0$:

   Для этого используем формулу дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$$

   Так как дискриминант положительный, корни уравнения будут:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{-7 \pm 1}{2}$$