1) Из точки, отстоящей от плоскости на 10 см, проведены две наклонные, составляющие с плоскостью углы 30° и 45°. Угол между их проекциями на эту плоскость равен 30°. Найдите расстояние между основаниями наклонных. 2) А и В — точки на ребре двугранного угла. АС и BD перпендикулярны к ребру и проведены в разных гранях. Вычислите длину CD, если AB = 6 см, AC = 3 см и BD = 2 см.

1) Пусть $P$ — точка, находящаяся на расстоянии 10 см от плоскости, а $PO \perp \pi$, где $O$ — основание перпендикуляра на плоскость.

Проведены наклонные $PA$ и $PB$, их проекции на плоскость — это отрезки $OA$ и $OB$.

Дано:

• $PO = 10$ см

• угол между $PA$ и плоскостью $30^\circ$

• угол между $PB$ и плоскостью $45^\circ$

• $\angle AOB = 30^\circ$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $POA$ и $POB$ (прямой угол при $O$).

Найдём $OA$

Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией:

В прямоугольном треугольнике:

Найдём $OB$

Теперь найдём $AB$ по теореме косинусов в плоскости:

Подставим:

• $OA^2 = 300$

• $OB^2 = 100$

• $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ к 1): $10$ см

2) Пусть $AB$ — ребро двугранного угла, $AB = 6$ см.
Точки $C$ и $D$ лежат в разных гранях:

• $AC \perp AB$, $AC = 3$

• $BD \perp AB$, $BD = 2$

Так как грани двугранного угла предполагаются взаимно перпендикулярными (иначе задача не имеет однозначного численного ответа), зададим координатную модель:

• $A(0,0,0)$

• $B(6,0,0)$

• $AC \perp AB$ в одной плоскости ⇒ $C(0,3,0)$

• $BD \perp AB$ в другой плоскости ⇒ $D(6,0,2)$

Теперь найдём расстояние $CD$: