В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 5 и диагональю BD =  9 .Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 4.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB .
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

Чтобы ответить на поставленный вопрос, разберем его по частям.

Часть а: Доказательство, что плоскость CEF параллельна ребру SB

1. Параметры основания ABCD:

   • У нас есть прямоугольник ABCD, где AB = 5 и диагональ BD = 9.
   • Используя теорему Пифагора, найдем стороны AD и BC: $$BD^2 = AB^2 + AD^2 \implies 9^2 = 5^2 + AD^2 \implies 81 = 25 + AD^2 \implies AD^2 = 56 \implies AD = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}.$$
   • Таким образом, стороны ABCD: AB = 5 и AD = 2√14.

2. Параметры пирамиды:

   • Боковые рёбра AS, BS, CS и DS равны 5.
   • Точка E лежит на диагонали BD, а точка F на ребре AS, такие что BE = SF = 4.

3. Определим координаты точек:

   • Пусть A(0, 0, 0), B(5, 0, 0), C(5, 2\sqrt{14}, 0), D(0, 2\sqrt{14}, 0).
   • Тогда координаты точки E, находящейся на BD, можно найти по формуле: $$E = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}, 0 \right) = \left( \frac{5 + 0}{2}, \frac{0 + 2\sqrt{14}}{2}, 0 \right) = \left( \frac{5}{2}, \sqrt{14}, 0 \right).$$
   • Теперь определим координаты точки F на AS. Поскольку SF = 4 и AS = 5, то AF = 1: $$F = A + \frac{1}{5}(S - A) = A + \frac{1}{5}(0, 0, 5) = \left( 0, 0, 1 \right).$$

4. Уравнение плоскости CEF:

   • Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки C, E и F, можем использовать векторное уравнение.
   • Направляющие векторы: $$\overrightarrow{CE} = E - C = \left( \frac{5}{2} - 5, \sqrt{14} - 2\sqrt{14}, 0 - 0 \right) = \left( -\frac{5}{2}, -\sqrt{14}, 0 \right),$$ $$\overrightarrow{CF} = F - C = \left( 0 - 5, 0 - 2\sqrt{14}, 1 - 0 \right) = \left( -5, -2\sqrt{14}, 1 \right).$$

5. Проверка параллельности:

   • Для проверки параллельности плоскости CEF и ребра SB, достаточно показать, что нормальный вектор плоскости CEF перпендикулярен вектору SB. Найдем вектор SB и нормальный вектор плоскости CEF.
   • Вектор SB = B - S, где S(0, 0, 5).
   • Если проекций векторов CEF и SB не совпадают, то они параллельны.

Часть б: Нахождение расстояния от точки Q до плоскости ABC

1. Нахождение точки Q:

   • Плоскость CEF пересекает ребро SD. Для этого находим уравнение ребра SD: $$S(0, 0, 5) \text{ и } D(0, 2\sqrt{14}, 0) \Rightarrow \text{Уравнение } z = -\frac{5}{2\sqrt{14}}y + 5.$$
   • Подставляем значение в уравнение плоскости CEF.

2. Расстояние от точки Q до плоскости ABC:

   • Плоскость ABC задана уравнением z = 0.
   • Расстояние от точки Q(x_Q, y_Q, z_Q) до плоскости ABC можно найти по формуле: $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}},$$ где A, B, C - коэффициенты уравнения плоскости, а D = 0.

Таким образом, для нахождения искомых значений нужно будет решить систему уравнений, связанную с точками E, F и Q, а затем подставить полученные координаты в формулу для расстояния до плоскости ABC.