1. Какое из следующих утверждений верно?

а) любые четыре точки лежат в одной плоскости; б) любые три точки не лежат в одной плоскости; в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости; г) через любые три точки проходит плоскость; д) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна.

2. Сколько общих точек могут иметь две различные плоскости?

а) 2; б) 3; в) несколько; г) бесконечно много; д) бесконечно много или ни одной.

3. Точки А, В, С лежат на одной прямой, точка D не лежит на ней. Через каждые три точки проведена одна плоскость. Сколько различных плоскостей при этом получилось?

а) 2; б) 3; в) 1; г) 4; д) бесконечно много.

4. Если три точки не лежат на одной прямой, то положение плоскости в пространстве они:

а) не определяют в любом случае; б) определяют, но при дополнительных условиях; в) определяют в любом случае; г) ничего сказать нельзя; д) другой ответ.

5. Выберите верное утверждение.

а) Если одна точка прямой лежит в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости; б) через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна; в) через две пересекающиеся прямые плоскость провести нельзя; г) любые две плоскости не имеют общих точек; д) если четыре точки не лежат в одной плоскости, то какие-нибудь три из них лежат на одной прямой.

6. Назовите общую прямую плоскостей AFD и DEF.

а) AD; б) DE; в) определить нельзя; г) DF; д) AF.

7. Через точку М, не лежащую на прямой а, провели прямые, пересекающие прямую а. Тогда:

а) эти прямые не лежат в одной плоскости; б) эти прямые лежат в одной плоскости; в) никакого вывода сделать нельзя; г) часть прямых лежит в плоскости, а часть - нет; д) все прямые совпадают с прямой а.

8. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Каково взаимное расположение плоскостей α и β?

а) определить нельзя; б) они совпадают; в) имеют только одну общую точку; г) не пересекаются; д) пересекаются по некоторой прямой.

9. Точки A,B,C не лежат на одной прямой. M € AB; K € AC; X € MK. Выберите верное утверждение.

а) X € AB; б) X € AC; в) X € ABC; г) точки Х и М совпадают; д) точки Х и К совпадают.

10. Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если через прямую а можно провести плоскость, параллельную прямой b?

а) Скрещиваются или пересекаются; б) пересекаются или параллельны;

в) скрещиваются или параллельны; г) только скрещиваются;

д) только параллельны.

Подробный разбор заданий:

1. Какое из следующих утверждений верно?

• а) Любые четыре точки лежат в одной плоскости. Неверно, так как четыре точки могут быть расположены так, что они не принадлежат одной плоскости (например, если они задают тетраэдр).
• б) Любые три точки не лежат в одной плоскости. Неверно, так как любые три точки, которые не лежат на одной прямой, всегда определяют одну плоскость.
• в) Любые четыре точки не лежат в одной плоскости. Неверно, так как четыре точки могут лежать в одной плоскости, если они принадлежат одной поверхности.
• г) Через любые три точки проходит плоскость. Неверно, если три точки лежат на одной прямой, они не определяют одну единственную плоскость.
• д) Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна. Верно, если точки не лежат на одной прямой, они однозначно определяют плоскость.

Ответ: д.

2. Сколько общих точек могут иметь две различные плоскости?

• а) 2. Неверно, так как две плоскости либо пересекаются по прямой (бесконечно много точек), либо не пересекаются.
• б) 3. Неверно, три точки не могут быть общими для двух плоскостей, если они различны.
• в) Несколько. Неверно, слишком неопределённое утверждение.
• г) Бесконечно много. Неверно, только пересекающиеся плоскости имеют бесконечно много точек.
• д) Бесконечно много или ни одной. Верно, так как две различные плоскости либо пересекаются по прямой (бесконечное множество точек), либо не имеют общих точек.

Ответ: д.

3. Сколько различных плоскостей получается, если точки A, B, C лежат на одной прямой, а точка D не лежит на этой прямой?

Через каждую тройку точек можно провести плоскость:

1. $ABC$ (одна плоскость, так как точки лежат на одной прямой).
2. $ABD$, $BCD$, $ACD$ (каждая из этих тройных комбинаций задаёт новую плоскость).

Итог: всего три различные плоскости.

Ответ: б.

4. Если три точки не лежат на одной прямой, то положение плоскости в пространстве они:

• а) Не определяют в любом случае. Неверно, если три точки не лежат на одной прямой, они всегда задают плоскость.
• б) Определяют, но при дополнительных условиях. Неверно, дополнительных условий не требуется.
• в) Определяют в любом случае. Верно, три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно задают плоскость.
• г) Ничего сказать нельзя. Неверно.
• д) Другой ответ. Неверно.

Ответ: в.

5. Выберите верное утверждение.

• а) Если одна точка прямой лежит в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Верно, это свойство прямой в плоскости.
• б) Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Верно, такое определение.
• в) Через две пересекающиеся прямые плоскость провести нельзя. Неверно, через две пересекающиеся прямые всегда проходит плоскость.
• г) Любые две плоскости не имеют общих точек. Неверно, плоскости могут пересекаться.
• д) Если четыре точки не лежат в одной плоскости, то какие-нибудь три из них лежат на одной прямой. Неверно, три точки не обязательно лежат на одной прямой.

Ответ: а и б (оба верны).

6. Назовите общую прямую плоскостей $AFD$ и $DEF$.

Общие точки этих плоскостей принадлежат пересечению. Очевидно, это прямая $DF$, так как она входит в состав обеих плоскостей.

Ответ: г (DF).

7. Через точку M, не лежащую на прямой а, проведены прямые, пересекающие прямую а. Тогда:

• а) Эти прямые не лежат в одной плоскости. Неверно, все прямые пересечения через точку $M$ и прямую $a$ лежат в одной плоскости.
• б) Эти прямые лежат в одной плоскости. Верно, прямые, проходящие через точку и пересекающие другую прямую, всегда лежат в одной плоскости.
• в) Никакого вывода сделать нельзя. Неверно.
• г) Часть прямых лежит в плоскости, а часть — нет. Неверно, все прямые принадлежат одной плоскости.
• д) Все прямые совпадают с прямой а. Неверно, это разные прямые.

Ответ: б.

8. Прямая а лежит в плоскости $\alpha$ и пересекает плоскость $\beta$. Каково взаимное расположение плоскостей $\alpha$ и $\beta$?

• а) Определить нельзя. Неверно, по условию прямые пересекаются.
• б) Они совпадают. Неверно, пересечение прямой с другой плоскостью не гарантирует совпадения.
• в) Имеют только одну общую точку. Неверно, пересечение по прямой предполагает больше точек.
• г) Не пересекаются. Неверно, пересечение прямой с плоскостью говорит о том, что они пересекаются.
• д) Пересекаются по некоторой прямой. Верно, прямая пересечения является общей.

Ответ: д.

9. Точки A, B, C не лежат на одной прямой. $M \in AB$; $K \in AC$; $X \in MK$. Выберите верное утверждение.

• а) $X \in AB$. Неверно, $X$ может лежать вне прямой $AB$.
• б) $X \in AC$. Неверно, аналогично.
• в) $X \in ABC$. Верно, точка $X$ принадлежит плоскости $ABC$, так как она строится на линиях внутри этой плоскости.
• г) Точки $X$ и $M$ совпадают. Неверно, это не обязательно.
• д) Точки $X$ и $K$ совпадают. Неверно, аналогично.

Ответ: в.

10. Каким может быть взаимное расположение прямых $a$ и $b$, если через прямую $a$ можно провести плоскость, параллельную прямой $b$?

• а) Скрещиваются или пересекаются. Неверно, скрещивающиеся прямые не могут быть параллельны.
• б) Пересекаются или параллельны. Неверно, пересекающиеся прямые не соответствуют условию.
• в) Скрещиваются или параллельны. Верно, плоскость может быть параллельна прямой $b$, если $a$ и $b$ либо параллельны, либо скрещиваются.
• г) Только скрещиваются. Неверно, прямые могут быть параллельны.
• д) Только параллельны. Неверно, скрещивание также возможно.

Ответ: в.