Какие числа являются периодами функции синуса и косинуса; тангенса и котангенса?

Периодом функции называется такое отличное от нуля число $T$, при прибавлении которого к аргументу значение функции не изменяется:

Тригонометрические функции синус, косинус, тангенс и котангенс являются периодическими, но их наименьшие положительные периоды различаются.

1. Периоды синуса и косинуса

Для функций $y=\sin x$ и $y=\cos x$ наименьший положительный период равен $2\pi$, или 360°.

Это означает, что:

Все ненулевые целые кратные числа $2\pi$ также являются периодами синуса и косинуса:

Например, периодами синуса и косинуса являются числа:

2. Периоды тангенса и котангенса

Для функций $y=\operatorname{tg}x$ и $y=\operatorname{ctg}x$ наименьший положительный период равен $\pi$, или 180°.

Это означает, что:

Все ненулевые целые кратные числа $\pi$ являются периодами тангенса и котангенса:

Например:

Эти равенства выполняются для всех значений аргумента, при которых соответствующие функции определены.

3. Почему периоды различаются?

Синус и косинус повторяют свои значения после полного оборота по единичной окружности, то есть через $2\pi$ радиан.

Тангенс и котангенс повторяют свои значения уже через половину оборота, то есть через $\pi$ радиан. Это объясняется тем, что при увеличении угла на $\pi$ синус и косинус одновременно меняют знак, а их отношение остаётся прежним:

Аналогичное свойство выполняется для котангенса.

Итог

Здесь $n$ — любое целое число, кроме нуля.

Главное, что нужно запомнить: синус и косинус имеют основной период $2\pi$, а тангенс и котангенс — $\pi$. Следовательно, период тангенса и котангенса в два раза меньше периода синуса и косинуса.