Докажите, что синус любого угла треугольника всегда положительный. Верно ли это для косинуса, тангенса и котангенса?

Рассмотрим обычный (невырожденный) треугольник. Тогда каждый его внутренний угол строго больше $0^\circ$ и строго меньше $180^\circ$, причём на самом деле для треугольника даже сильнее:

а значит каждый угол лежит в промежутке

1) Почему $\sin$ любого угла треугольника положителен

Из общеизвестного свойства синуса: на интервале $(0^\circ,180^\circ)$ синус положителен:

Поскольку любой внутренний угол треугольника как раз принадлежит этому интервалу, получаем:

Если хочется объяснить это “геометрически”, без ссылок на график: возьмём единичную окружность. Синус угла — это ордината соответствующей точки на окружности. Для углов от $0^\circ$ до $180^\circ$ точка лежит в верхней полуокружности, где ордината положительна. Поэтому $\sin$ положителен.

Итак, утверждение верно: синус любого внутреннего угла треугольника всегда положителен.

2) Верно ли это для косинуса?

Нет, не всегда.

Косинус угла положителен на $(0^\circ,90^\circ)$, равен нулю при $90^\circ$ и отрицателен на $(90^\circ,180^\circ)$:

• если угол острый, то $\cos > 0$;

• если угол прямой, то $\cos = 0$;

• если угол тупой, то $\cos < 0$.

В треугольнике возможны и острые углы, и прямой (в прямоугольном треугольнике), и тупой (в тупоугольном). Значит, косинус угла треугольника не обязан быть положительным.

3) Верно ли это для тангенса?

Тоже нет, не всегда.

Мы уже знаем, что $\sin x>0$ для угла треугольника, поэтому знак $\tan x$ определяется знаком $\cos x$:

• при остром угле $\cos>0$ ⇒ $\tan>0$;

• при прямом угле $\cos=0$ ⇒ $\tan$ не определён;

• при тупом угле $\cos<0$ ⇒ $\tan<0$.

Значит, тангенс не всегда положителен, а для угла $90^\circ$ вообще не существует.

4) Верно ли это для котангенса?

Аналогично, нет.

Здесь $\sin x>0$, значит знак $\cot x$ совпадает со знаком $\cos x$:

• при остром угле $\cos>0$ ⇒ $\cot>0$;

• при прямом угле $\cos=0$ ⇒ $\cot=0$;

• при тупом угле $\cos<0$ ⇒ $\cot<0$.

Следовательно, котангенс тоже не всегда положителен.

Итог

• $\sin$ любого внутреннего угла треугольника всегда положителен.

• $\cos$ может быть положительным, нулевым или отрицательным (зависит от того, острый/прямой/тупой угол).

• $\tan$ может быть положительным или отрицательным, а при $90^\circ$ не определён.

• $\cot$ может быть положительным, нулевым или отрицательным.