Найдите множество значений функции y = 2cos²x + 7

Найдём множество значений функции:

Решение:

Известно, что функция косинуса принимает значения от $-1$ до $1$:

Если возвести косинус в квадрат, то получим:

Умножим все части неравенства на $2$:

Теперь прибавим к каждой части неравенства $7$:

Таким образом:

Проверим крайние значения:

• Минимальное значение $y=7$ достигается, когда $\cos x=0$, например при $x=\frac{\pi}{2}$.

• Максимальное значение $y=9$ достигается, когда $\cos x=\pm1$, например при $x=0$.

Поскольку функция непрерывна, она принимает все значения между $7$ и $9$ включительно.

Ответ:

Множество значений функции — отрезок от 7 до 9 включительно.