У марсиан бывает не только 2, 1 или 0 рук, как у людей, а любое число. Однажды все марсиане взялись за руки. Свободных рук не осталось. Докажите, что число нечётноруких марсиан чётно.

Доказательство.

Пусть всего на Марсе живёт $n$ марсиан, и у каждого из них некоторое количество рук (в том числе может быть ноль).

По условию все марсиане взялись за руки, причём свободных рук не осталось. Это означает, что каждая рука одного марсианина соединена с рукой другого марсианина.

Следовательно, все руки разбиты на пары. Поэтому общее количество рук у всех марсиан обязательно чётно.

Теперь разделим марсиан на две группы:

1. Чётнорукие марсиане — те, у кого чётное количество рук: 0, 2, 4, 6 и так далее.

2. Нечётнорукие марсиане — те, у кого нечётное количество рук: 1, 3, 5, 7 и так далее.

Рассмотрим сумму количества рук у всех марсиан.

У чётноруких марсиан суммарное количество рук чётно, поскольку сумма любых чётных чисел всегда чётна.

А значит, у нечётноруких марсиан суммарное количество рук тоже должно быть чётным, ведь общее количество рук чётно.

Но мы знаем, что сумма нечётных чисел бывает чётной тогда и только тогда, когда количество слагаемых чётно.

Например:

• $3+5=8$ — два нечётных числа дают чётную сумму.

• $1+3+7=11$ — три нечётных числа дают нечётную сумму.

• $1+3+5+7=16$ — четыре нечётных числа дают чётную сумму.

Поскольку каждый нечётнорукий марсианин добавляет в сумму нечётное число рук, а сама сумма должна быть чётной, количество таких марсиан обязательно чётно.

Что и требовалось доказать.

Таким образом, независимо от того, сколько рук может быть у каждого марсианина, если все руки заняты рукопожатиями и свободных рук не осталось, то число марсиан с нечётным количеством рук непременно будет чётным.