Производная от функции f(x)=x^7 равна f′(x)=7x^6. Точка x=0 является «подозрительной» на экстремум, потому что f′(0)=0. Как ведёт себя функция в окрестности точки x=0?
Ответы:
f(x) возрастает при x=0
f(x) убывает при x=0
f(x) имеет максимум при x=0
f(x) имеет минимум при x=0
нет правильного ответа

Правильный ответ: f(x) возрастает при x=0 (первый вариант).

Рассмотрим функцию:

Её производная равна:

При $x=0$ производная действительно обращается в ноль:

Это означает, что точка $x=0$ является стационарной и может быть точкой экстремума. Однако для определения наличия максимума или минимума необходимо исследовать знак производной слева и справа от этой точки.

1. При $x<0$:

Поскольку шестая степень любого ненулевого числа положительна, получаем:

Следовательно, функция возрастает слева от нуля.

2. При $x>0$:

Аналогично:

Значит, функция возрастает и справа от нуля.

3. При $x=0$:

Производная равна нулю, но её знак при переходе через эту точку не изменяется.

Таким образом, функция $f(x)=x^7$ строго возрастает на всей числовой прямой, в том числе в окрестности точки $x=0$.

В точке $x=0$ график имеет горизонтальную касательную, но ни максимума, ни минимума там нет. Эта точка также является точкой перегиба.

Вывод: равенство производной нулю не гарантирует существования экстремума. Поскольку производная $f'(x)=7x^6$ положительна по обе стороны от нуля, функция продолжает возрастать.

Ответ: первый вариант — «f(x) возрастает при x=0».