Дифференциальные уравнения. Помогите, люди добрые. :(

1. y'+2y/x=x^2

2. xy'-3y=4x^3

3. y"-2y'-3=0

1) \(y'+\frac{2y}{x}=x^2\)

Это линейное дифференциальное уравнение. Интегрирующий множитель:

\[\mu=x^2\]

Умножаем уравнение на \(x^2\):

\[(x^2y)'=x^4\]

Интегрируем:

\[x^2y=\frac{x^5}{5}+C\]

Ответ: \[y=\frac{x^3}{5}+\frac{C}{x^2}\]

2) \(xy'-3y=4x^3\)

Делим на \(x\), где \(x\neq0\):

\[y'-\frac{3y}{x}=4x^2\]

Интегрирующий множитель:

\[\mu=x^{-3}\]

Тогда:

\[(yx^{-3})'=\frac{4}{x}\]

Интегрируем:

\[yx^{-3}=4\ln|x|+C\]

Ответ: \[y=x^3(4\ln|x|+C)\]

3) \(y''-2y'-3=0\)

Положим \(z=y'\). Тогда:

\[z'-2z=3\]

Решение для \(z\):

\[z=Ce^{2x}-\frac{3}{2}\]

Значит:

\[y=C_1e^{2x}+C_2-\frac{3x}{2}\]

Ответ: \[y=C_1e^{2x}+C_2-\frac{3x}{2}\]

0 0 Пожаловаться