Рационально ли число sqrt(3)+sqrt(5) (корень из трех плюс корень из пяти)?

Число \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) иррационально.

Предположим, что оно рационально: \(\sqrt{3}+\sqrt{5}=a\), где \(a\) — рациональное число. Возведём обе части в квадрат:

\[a^2=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=8+2\sqrt{15}.\]

Тогда \(\sqrt{15}=\frac{a^2-8}{2}\) было бы рациональным числом. Но \(15\) не является квадратом натурального числа, поэтому \(\sqrt{15}\) иррационально. Получили противоречие. Значит, \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) — иррациональное число.

0 0 Пожаловаться