1) а) Решите уравнение cos2x + sin2x = 0,5.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [7π/2, -2π].

2) Решите неравенство: 4^x - 7*2^x + 10 < 0.

1а) Решим уравнение:

\[\cos 2x + \sin 2x = 0{,}5.\]

Используем формулу:

\[\cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right).\]

Тогда

\[\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{4}.\]

Пусть \(\alpha=\arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}\). Получаем:

\[x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2}+\pi k\]

или

\[x=\frac{3\pi}{8}-\frac{\alpha}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.\]

1б) Отрезок записан с концами в обратном порядке: \(\left[\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\). В таком виде он пустой, поэтому корней на нём нет.

2) Обозначим \(t=2^x\), тогда \(t>0\):

\[t^2-7t+10<0.\]

Разложим на множители:

\[(t-2)(t-5)<0.\]

Следовательно, \(2<t<5\), то есть

\[1<x<\log_2 5.\]

0 0 Пожаловаться