Решить уравнение cos4x - cos2x = 0, указать корни, принадлежащие отрезку [π/2; 2π].

Для решения уравнения $\cos(4x) - \cos(2x) = 0$, давайте сначала упростим его.

1. Переносим $\cos(2x)$ на другую сторону:

   $$\cos(4x) = \cos(2x)$$

2. Теперь применим формулу разности косинусов $\cos(A) - \cos(B) = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ для углов $4x$ и $2x$:

   $$\cos(4x) - \cos(2x) = -2 \sin\left(\frac{4x + 2x}{2}\right) \sin\left(\frac{4x - 2x}{2}\right)$$

   Упростим выражения внутри синусов:

   $$-2 \sin(3x) \sin(x) = 0$$

3. Условие равно нулю выполняется, если хотя бы один из множителей равен нулю:

   $$\sin(3x) = 0 \quad \text{или} \quad \sin(x) = 0$$

Решим оба уравнения:

1. $\sin(3x) = 0$

Здесь $3x = n\pi$, где $n$ — целое число. Значит, $x = \frac{n\pi}{3}$. Теперь находим значения $x$, которые лежат на отрезке $\left[ \frac{\pi}{2}, 2\pi \right]$:

• Для $n = 1$, $x = \frac{\pi}{3}$ — это значение не входит в интервал $\left[ \frac{\pi}{2}, 2\pi \right]$.

• Для $n = 2$, $x = \frac{2\pi}{3}$ — это значение входит в интервал.

• Для $n = 3$, $x = \pi$ — это значение входит в интервал.

• Для $n = 4$, $x = \frac{4\pi}{3}$ — это значение входит в интервал.

• Для $n = 5$, $x = \frac{5\pi}{3}$ — это значение входит в интервал.

• Для $n = 6$, $x = 2\pi$ — это значение входит в интервал.

Таким образом, корни уравнения $\sin(3x) = 0$ на отрезке $\left[ \frac{\pi}{2}, 2\pi \right]$ — это $x = \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, 2\pi$.

2. $\sin(x) = 0$

Здесь $x = n\pi$, где $n$ — целое число. Находим значения $x$, которые лежат на отрезке $\left[ \frac{\pi}{2}, 2\pi \right]$:

• Для $n = 1$, $x = \pi$ — это значение входит в интервал.

• Для $n = 2$, $x = 2\pi$ — это значение входит в интервал.

Таким образом, корни уравнения $\sin(x) = 0$ на отрезке $\left[ \frac{\pi}{2}, 2\pi \right]$ — это $x = \pi, 2\pi$.

Итоговые корни:

Объединяя корни, получаем, что решения уравнения $\cos(4x) - \cos(2x) = 0$ на отрезке $\left[ \frac{\pi}{2}, 2\pi \right]$ — это: