2 sin³x - 2 sinx + cos²x = 0. Найдите все корни, принадлежащие отрезку [-7π/2, -2π].

Решим уравнение $2 \sin^3 x - 2 \sin x + \cos^2 x = 0$ на отрезке $[-7\pi/2, -2\pi]$.

1. Используем тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Подставим это в исходное уравнение:

2. Упростим полученное выражение:

3. Перепишем это как кубическое уравнение относительно $\sin x$:

4. Попробуем решить это уравнение методом подбора. Подставим $\sin x = 1$:

Таким образом, $\sin x = 1$ — это корень уравнения.

5. Разделим уравнение на $(\sin x - 1)$ с использованием деления многочленов или, например, метода синтетического деления. После деления получаем следующее:

6. Решим квадратное уравнение $2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$. Для этого используем формулу решения квадратного уравнения:

Таким образом, получаем два корня:

7. Теперь найдем все значения $x$ для $\sin x = 1$, $\sin x = \frac{1}{2}$ и $\sin x = -1$ на отрезке $[-7\pi/2, -2\pi]$.

Для $\sin x = 1$:

Решение этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

На отрезке $[-7\pi/2, -2\pi]$ получаем значение $x = -\frac{3\pi}{2}$.

Для $\sin x = \frac{1}{2}$:

Решение этого уравнения: $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

На отрезке $[-7\pi/2, -2\pi]$ получаем значения $x = -\frac{5\pi}{6}$