A) cos2x + 3sinx = 2. Укажите его наибольшее решение, принадлежащее отрезку [-3π; π]. Б) cos2x +

Ответы на вопрос

Отвечает Тюрин Валерий.

А)
Решим уравнение:

\cos 2x + 3\sin x = 2

Используем формулу:

\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x

Тогда:

1 - 2\sin^2 x + 3\sin x = 2

Перенесём всё в одну сторону:

-2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0

Умножим на $-1$ :

2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0

Обозначим:

t = \sin x

Получаем квадратное уравнение:

2t^2 - 3t + 1 = 0

Разложим на множители:

(2t - 1)(t - 1) = 0

Отсюда:

t = \frac12

или

t = 1

Значит:

\sin x = \frac12

или

\sin x = 1

Решения:

x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k

x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k

x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k

Нужно выбрать наибольшее решение на отрезке:

[-3\pi;\pi]

На этом отрезке среди положительных решений подходят:

\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}

Наибольшее из них:

\frac{5\pi}{6}

Ответ в пункте А:

\boxed{\frac{5\pi}{6}}

Б)
Решим уравнение:

\cos 2x + 2 = 3\cos x

Используем формулу:

\cos 2x = 2\cos^2 x - 1

Тогда:

2\cos^2 x - 1 + 2 = 3\cos x

2\cos^2 x + 1 = 3\cos x

Переносим всё в одну сторону:

2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0

Обозначим:

t = \cos x

Получаем:

2t^2 - 3t + 1 = 0

Разложим:

(2t - 1)(t - 1) = 0

Отсюда:

t = \frac12

или

t = 1

То есть:

\cos x = \frac12

или

\cos x = 1

Решения:

x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k

x = 2\pi k

Нужно выбрать наименьшее решение на отрезке:

[-2{,}5\pi; -0{,}5\pi]

То есть:

\left[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}\right]

Проверим подходящие решения.

Из $\cos x = 1$ :

x = 2\pi k

Подходит:

x = -2\pi

Из $\cos x = \frac12$

A) cos2x + 3sinx = 2. Укажите его наибольшее решение, принадлежащее отрезку [-3π; π]. Б) cos2x + 2 = 3cosx. Укажите наименьшее значение, принадлежащее отрезку [-2,5π; -0,5π].